宁波初一数学下册知识点：整式的运算

一、整式

单项式和多项式统称整式。

（a）由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

（b）单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。

（c）一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数（注意：常数项的单项式次数为0）

（a）几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

（b）单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数。

（a）整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式。

（b）括号前面是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。

二、同底数幂的乘法

（m，n都是整数）是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：

（a）法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

（b）指数是1时，不要误以为没有指数；

（c）不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

（d）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为

（其中m、n、p均为整数）；

e）公式还可以逆用：

（m、n均为整数）

（a）幂的乘方法则：

（m，n都是整数数）是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。

（b）（m、n都为整数）。

（c）底数有负号时，运算时要注意，底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a）3化成-a3

（d）底数有时形式不同，但可以化成相同。

（e）要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。

（f）积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n=anbn（n为正整数）。

（g）幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

五、同底数幂的除法

（a）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

（a≠0）。

（b）在应用时需要注意以下几点：

（1）法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a0。

（2）任何不等于0的数的0次幂等于1，即a0=1（a≠0），如100=1，（-2.50=1），则00无意义。

（c）任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p的次幂的倒数，即

（a≠0，p是正整数），而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的，当a<0时，a-p的值可能是正也可能是负的，如

，d）运算要注意运算顺序。

六、整式的乘法

单项式相乘，它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

（a）积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；

（b）相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则；

（c）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

（d）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

（e）单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

（a）单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

（b）运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

（c）在混合运算时，要注意运算顺序。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

（a）多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；

（b）多项式相乘的结果应注意合并同类项；

（c）对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到

。

七、平方差公式

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即

。

其结构特征是：

（a）公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

（b）公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

八、完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即

；

口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

（a）公式左边是二项式的完全平方；

（b）公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

（c）在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现

这样的错误。

九、整式的除法

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

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